Документ представляет собой комплект контрольно-измерительных материалов для проверки знаний и умений студентов по математике. ФОС разработан в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта и предназначен для проведения входного, текущего, рубежного контроля и промежуточной аттестации в форме экзамена.
Содержание фонда оценочных средств структурировано по основным разделам дисциплины и включает следующие компоненты:
1. Структура комплекта КОС
✓ Фонд охватывает все разделы программы, включая: степень с действительным показателем, корни, степенную, показательную и логарифмическую функции, тригонометрию, элементы аналитической геометрии (координаты и векторы в пространстве), многогранники и тела вращения, производную и её приложения, первообразную и интеграл, элементы комбинаторики и теории вероятностей.
✓ Для текущего контроля предусмотрены теоретические вопросы и контрольные работы по каждой теме (более 10 тем с системами оценивания).
✓ Промежуточная аттестация представлена билетами, содержащими 1 теоретический вопрос и 2 практических задания.
2. Система оценивания
В документе используются различные шкалы в зависимости от типа контроля:
✓ Входной контроль: обязательная часть (8 заданий по 1-2 балла) + дополнительная часть (1 задание, 3 балла). Итог: "3" — 7-9 баллов; "4" — 10-12; "5" — 13-15.
✓ Текущий контроль: теоретическая часть (5 вопросов: "3" — 3 верных ответа; "4" — 4; "5" — 5). Практическая часть: обязательная часть (8 заданий) + дополнительная (1 задание). Итог: "3" — 8-10 баллов; "4" — 11-13; "5" — 14-16.
✓ Промежуточная аттестация (экзамен): 1 теоретический вопрос (1 балл) + 2 практических задания (по 2 балла за каждое: 1 балл за ход решения, 1 балл за ответ и обоснование). Итог: "3" — 3 балла; "4" — 4; "5" — 5.
3. Текущий контроль (теоретические вопросы)
Для каждой темы приведены списки вопросов для устного опроса (по 10–30 вопросов). Примеры:
✓ Степенная функция (13 вопросов): определение степенной функции, свойства, свойства корня n-й степени, решение иррациональных уравнений, графический способ решения.
✓ Показательная и логарифмическая функция (11 вопросов): определения, свойства, способы решения уравнений и неравенств, функциональные зависимости в реальной жизни.
✓ Логарифмы (11 вопросов): определение, свойства, примеры логарифмических спиралей в природе, решение неравенств.
✓ Прямые и плоскости (30 вопросов): теорема Пифагора, фигуры в пространстве, способы задания плоскости, взаимное расположение прямых и плоскостей, угол между прямыми/плоскостями, перпендикуляр, наклонная, проекция, симметрия.
✓ Координаты и векторы (11 вопросов): прямоугольная система координат, координаты точки и вектора, сложение векторов, коллинеарные и перпендикулярные векторы, скалярное и векторное произведения.
✓ Тригонометрия (17 вопросов): радианная мера угла, знаки тригонометрических функций, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного угла, периоды, область значения, способы решения уравнений (включая однородные).
✓ Производная (19 вопросов): определение, геометрический и физический смысл, касательная, правила дифференцирования, метод интервалов, признаки возрастания/убывания, экстремумы, алгоритмы исследования функции.
✓ Многогранники и тела вращения (27 вопросов): определения призмы, пирамиды, параллелепипеда, куба, цилиндра, конуса, шара; свойства, апофема, площади поверхности, объёмы, осевые сечения, отношения подобия.
✓ Первообразная (6 вопросов): определение, геометрический смысл определённого интеграла, криволинейная трапеция, формула Ньютона-Лейбница, правила интегрирования.
✓ Комбинаторика и статистика (16 вопросов): случайное событие, вероятность, сложение и умножение вероятностей, среднее арифметическое, медиана, размах, диаграммы, сочетания, размещения, перестановки.
4. Текущий контроль (контрольные работы)
Тема: Степенная функция (9 заданий):
✓ Задание 1: между какими натуральными числами находится ∛19 (между 2 и 3).
✓ Задание 2: корень уравнения x³=125 (x=5).
✓ Задание 3: расположение чисел 2, 3/5, 4/17 в порядке возрастания.
✓ Задание 4: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
✓ Задание 5: упрощение выражения a⁵·⁵⁸·a²·⁹/a⁶·⁴⁸ = a² (показатели складываются и вычитаются).
✓ Задание 6: 4⁸·11¹⁰:44⁸ = 11² = 121.
✓ Задание 7: ((√12+√8)²)/(10+√96) = (20+2√96)/(10+√96) = 2.
✓ Задание 8: вывод формулы l = √(2Rh) из закона сохранения энергии (0,18).
✓ Задание 9 (дополнительное): графическое решение системы y=√x, y=x → (1;1).
Тема: Показательная и логарифмическая функция (9 заданий):
✓ Задание 1: функция y=aˣ возрастает при a=4 (a>1).
✓ Задание 2: по графику f(x)=aˣ найти f(2) (a=5 → f(2)=25).
✓ Задание 3: f(x)=(1/2)ˣ, f(-2)=4.
✓ Задание 4: (1/9)ˣ⁻¹³=3 → x=13,5.
✓ Задание 5: 3ˣ⁺² - 5·3ˣ = 12 → 3ˣ(9-5)=12 → 3ˣ=3 → x=1.
✓ Задание 6: 1 < 7ˣ⁻¹ < 49 → x=2 (целое решение).
✓ Задание 7: система x-y=8, 2ˣ-3y=16 → x=10, y=2.
✓ Задание 8: m(t)=m₀·2⁻ᵗ/ᵀ → t=21.
✓ Задание 9 (дополнительное): графическое решение системы → (2;4).
Тема: Логарифмы (9 заданий):
✓ Задание 1: возрастающая функция f(x)=log₅x (a>1).
✓ Задание 2: область определения f(x)=lg((2x-3)/(x+7)) → (-∞;-7)∪(1,5;+∞).
✓ Задание 3: порядок возрастания log₀,₅4 < log₀,₅0,4 < log₀,₅(1/4) (основание <1).
✓ Задание 4: log₁/₂32 = -5.
✓ Задание 5: log₆2 + log₆3 + 2log₂4 = 1 + 4 = 5.
✓ Задание 6: log₃(6x-4)>2 → 6x-4>9 → x>13/6 → наименьшее целое 3.
✓ Задание 7: y=8ln(x+7)-8x+3 → минимум в точке x=-6 → y=8ln1+48+3=51.
✓ Задание 8: формула T = Tп + (Tв - Tп)·e^(-αc·m·x) → x=14.
✓ Задание 9 (дополнительное): решение логарифмического уравнения → x=11.
Тема: Прямые и плоскости (9 заданий):
✓ Задание 1: a∈β — прямая a принадлежит плоскости β.
✓ Задание 2: AB и CD скрещиваются → AC и BD пересекаются.
✓ Задание 3: плоскости α и β имеют 1 общую точку → пересекаются по прямой.
✓ Задание 4: теорема о трёх перпендикулярах.
✓ Задание 5: AA₁=6,8; BB₁=7,4; MM₁ = (AA₁+BB₁)/2 = 7,1.
✓ Задание 6: AB=5, BC=13, AD=9; AC=12; CD=15.
✓ Задание 7: проекции относятся как 2:3; наклонные 23 и 33 → общий перпендикуляр = 9.
✓ Задание 9 (дополнительное): проектная задача — разбивка цветника круглой формы на сектора, расчёт саженцев.
Тема: Координаты и векторы (9 заданий):
✓ Задание 1: точка С(0,-1,0) лежит на оси Oy.
✓ Задание 2: единичный вектор c(1/3; 2/3; -2/3) (длина = 1).
✓ Задание 3: коллинеарные векторы a(1,2,-3) и b(2,4,-6) (b=2a).
✓ Задание 4: М(0,3,4) — середина AC (A(2,0,5), C(-2,6,3)).
✓ Задание 5: скалярное произведение a·b = (-6)·(-3)+0·2+8·(-6)=18-48=-30.
✓ Задание 6: a·b=0 → 4·1+n·2+2·n=0 → 4+4n=0 → n=-1.
✓ Задание 7: cos угла между векторами = -3/√(100·49) = -3/70? согласно эталону -1/3? (в документе эталон: -1/3).
✓ Задание 8: доказательство, что ABCD — ромб (все стороны равны → √68).
✓ Задание 9 (дополнительное): площадь четырёхугольника (8;0),(10;8),(2;10),(0;2) → 68 кв. ед.
Тема: Тригонометрия (9 заданий):
✓ Задание 1: sin C = AB/AC → AC — гипотенуза.
✓ Задание 2: 400° — I четверть (400-360=40°).
✓ Задание 3: чётная функция y=cos x.
✓ Задание 4: cos x = 1/2 → x = ±π/3 + 2πn.
✓ Задание 5: sin(π/2) + cos(π/2) = 1+0=1.
✓ Задание 6: 4·arccos(√2/2) - 4·arcsin(-√2/2) = 4·(π/4) - 4·(-π/4) = 2π.
✓ Задание 7: tg13°·tg77° = tg13°·ctg13° = 1.
✓ Задание 8: sin²x - 4sinx +3 =0 → sinx=1 или sinx=3 (нет) → x=π/2+2πn.
✓ Задание 9 (дополнительное): система x+y=π, sinx+siny=2 → x=y=π/2 → (π/2+2πn; π/2+2πn).
Тема: Производная (9 заданий):
✓ Задание 1: производная y=2x³ → y'=6x².
✓ Задание 2: (uv)'=u'v+uv'.
✓ Задание 3: f'(x)=0 для f(x)=3x²-6x+4 → 6x-6=0 → x=1.
✓ Задание 4: по графику производной — количество точек максимума на [-9;6] = 3.
✓ Задание 5: v(t)=x'(t)=-4t³+18t²-8t+5; при t=3 → -108+162-24+5=35? в эталоне 81,25 (возможно, ошибка в условии).
✓ Задание 6: значение производной по касательной на графике = 1,25.
✓ Задание 7: ((x-2)(x+3))/(x-8)>0 → метод интервалов: (-3;2)∪(8;+∞).
✓ Задание 8: по графику найти наименьшее значение функции на отрезке [2;9,5] → -3.
✓ Задание 9 (дополнительное): задача о выборе участка с минимальным периметром при площади 100 м²: 25×4 (58), 20×5 (50), 12,5×8 (41), 10×10 (40) → участок 10×10.
Тема: Многогранники и тела вращения (9 заданий):
✓ Задание 1: площадь поверхности измеряется в квадратных метрах.
✓ Задание 2: Sбок = Pосн·H.
✓ Задание 3: осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция.
✓ Задание 4: вращение прямоугольного треугольника вокруг катета → конус.
✓ Задание 5: Sбок правильной треугольной пирамиды (ребро 3, апофема 6) → 27 м².
✓ Задание 6: ребро куба с диагональю √588 → a=√(588/3)=14.
✓ Задание 7: вращение прямоугольника 8×3 вокруг большей стороны → цилиндр: V=72π, Sбок=48π, Sполн=64π.
✓ Задание 9 (дополнительное): проектная задача — модель клумбы в форме комбинированного геометрического тела.
Тема: Первообразная и интеграл (9 заданий):
✓ Задание 1: F(x)=x³-3x²+1 → F'=3x²-6x.
✓ Задание 2: f(x)=3x²+1 → F(x)=x³+x+C; F(1)=2? в эталоне ответ 1? (проверка: 1³+1+C=2 → C=0).
✓ Задание 3: для f(x)=sinx → F(x)=-cosx+C.
✓ Задание 4: ∫₁² x dx = (x²/2)|₁² = 2 - 0,5 = 1,5.
✓ Задание 5: является ли F(x)=x³-3x+1 первообразной для f(x)=3x²-3 → да.
✓ Задание 6: F(x)=x³-x²+C; F(1)=4 → 1-1+C=4 → C=4 → F(x)=x³-x²+4.
✓ Задание 7: по графику найти наименьшее значение функции на отрезке [2;9,5] → -3.
✓ Задание 8: определённый интеграл по площади фигуры на графике → 12.
✓ Задание 9 (дополнительное): площадь клумбы, ограниченной y=0, y=x, y=-2x+6 → 3 кв. ед.
Тема: Комбинаторика (9 заданий):
✓ Задание 1: комбинаторика — выбор элементов из заданного конечного множества.
✓ Задание 2: соединения, отличающиеся порядком → перестановки.
✓ Задание 3: число размещений: Aₙᵐ = n(n-1)...(n-m+1) = n!/(n-m)!.
✓ Задание 4: группировка — разбиение единиц совокупности на группы по признаку.
✓ Задание 5: из 2000 насосов 6 подтекают → вероятность не подтекающего = 1994/2000 = 0,997.
✓ Задание 6: сравнение всхожести семян, построение диаграммы, выводы.
✓ Задание 7: выбор 3 из 5 видов → C₅³ = 10.
✓ Задание 8: посадка 4 кустарников в ряд → P₄ = 24.
✓ Задание 9 (дополнительное): вероятность поступления на две специальности = 0,6·0,8·0,7 + 0,6·0,8·0,5 - 0,6·0,8·0,7·0,5 = 0,408.
5. Рубежный контроль (контрольная работа по материалам 1-го семестра)
9 заданий, охватывающих несколько тем:
✓ Задание 1: координаты середины отрезка → М(0,3,4).
✓ Задание 2: параллельные прямые AB и CD → AC и BD пересекаются.
✓ Задание 3: cos(πx/6)=√3/2 → x=1 (наименьший положительный).
✓ Задание 4: область определения lg(x+7) → (-7;+∞) (в эталоне ответ Г — (-∞;-7)∪(1,5;+∞) — возможно, опечатка).
✓ Задание 5: длина перекладины между столбами 10 м и 7 м на расстоянии 4 м → √(4²+3²)=5.
✓ Задание 6: cosx=1 → x=0 (наименьший неотрицательный корень).
✓ Задание 7: N=Fv cosα, N=60 кВт, F=40 кН, v=3 м/с → cosα=60/(40·3)=0,5 → α=60°.
✓ Задание 8: система x-y=8, 2x-3y=16 → x=10, y=2.
✓ Задание 9 (дополнительное): проектная задача — разбивка цветника прямоугольной формы (2:3) на сектора, расчёт саженцев.
6. Промежуточная аттестация (экзамен)
Экзамен проводится в письменной форме. Каждый билет содержит 1 теоретический вопрос и 2 практических задания.
Теоретические вопросы (30 вопросов) охватывают:
✓ Степень с действительным показателем, корень n-й степени, связь корня и степени.
✓ Свойства корней, преобразование выражений.
✓ Показательная функция: определение, область определения, график, свойства, влияние основания.
✓ Логарифм: определение, смысл, область определения, свойства.
✓ Решение простейших показательных и логарифмических уравнений.
✓ Построение и сравнение графиков степенной, показательной и логарифмической функций.
✓ Координаты точки в пространстве, расстояние между точками, вектор, координаты вектора.
✓ Скалярное произведение векторов: определение и геометрический смысл.
✓ Уравнение прямой в пространстве, направляющий вектор; уравнение плоскости, взаимное расположение прямой и плоскости.
✓ Угол между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.
✓ Нормальный вектор плоскости, векторное и смешанное произведения.
✓ Определения sin, cos, tan, ctg; основное тригонометрическое тождество.
✓ Связь тригонометрических функций одного угла; значения для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
✓ Графики y=sinx, y=cosx, y=tanx, свойства, периодичность.
✓ Формулы приведения, сложения, двойного и половинного угла.
✓ Решение простейших тригонометрических уравнений.
✓ Многогранники; призма и пирамида: элементы, площадь, объём.
✓ Параллелепипед и тетраэдр: свойства, формулы.
✓ Тела вращения: цилиндр, конус, шар; площадь поверхности и объём.
✓ Осевое и центральное сечение.
✓ Определение производной, геометрический и физический смысл.
✓ Правила дифференцирования (сумма, произведение, частное, сложная функция).
✓ Производные элементарных функций.
✓ Монотонность функции, экстремумы, вторая производная.
✓ Первообразная и неопределённый интеграл, формулы интегрирования.
✓ Определённый интеграл, геометрический смысл (площадь под графиком).
✓ Случайное событие и вероятность; классическая, геометрическая, статистическая вероятности.
✓ Сумма и произведение событий; формулы сложения и умножения вероятностей.
✓ Случайная величина, распределение, математическое ожидание, дисперсия.
✓ Среднее арифметическое, мода, медиана выборки; вариационный ряд.
Практические задания (15 возможных вариантов):
✓ Вычисление 2sin(π/6)+2cos(π/3)=2·0,5+2·0,5=2.
✓ Определение по графику суточных осадков количества дней с осадками >2 мм.
✓ Вычисление √(36·(0,5)²) = 3.
✓ Вероятность: 4 пирожка с вишней из 16 → 0,25.
✓ log₂8 + log₂32 = 3+5=8.
✓ Корень уравнения (найден).
✓ Решение неравенства 2ˣ⁺⁵ > 64 → x>1 → наименьшее целое положительное 2.
✓ Производная y=5x⁴ - 6x² + 7x - 1 в точке x=0 → y'=20x³-12x+7 → y'(0)=7.
✓ Интеграл ∫₀^π sinx dx = 2.
✓ Скорость по закону S(t)=3t²+5t → v(t)=6t+5 → v(1)=11 м/с.
✓ Площадь фигуры между параболами: ∫(x²-2x-2 - (-x²+2))dx = ∫(2x²-2x-4)dx.
✓ Решение sin2x - 2sinx=0 → sinx(2cosx-2)=0 → sinx=0 или cosx=1 → на [0;4π] — 7 корней? в эталоне 3.
✓ Объём многогранника по рисунку → 56.
✓ Задача о садоводах: x саженцев/ч (первый), x-5 (второй), 126/(x) - 126/(x+5) = 5 → x=14? в эталоне 13.
7. Формируемые компетенции
Освоение дисциплины направлено на формирование личностных, метапредметных и предметных результатов, обеспечивающих:
✓ Умения применять математические методы для решения профессиональных задач (расчёты дозирования, площадей, объёмов, вероятностей, оптимизационных задач).
✓ Знания о функциональных зависимостях, геометрических фигурах, методах математического анализа, статистической обработке данных.
ФОС по математике носит комплексный характер и позволяет всесторонне оценить как теоретические знания (определения, свойства, формулы), так и практические навыки (решение уравнений и неравенств, вычисление производных и интегралов, задачи по геометрии, вероятностные расчёты), обеспечивая фундаментальную математическую подготовку будущих техников-технологов для профессиональной деятельности в биохимическом производстве.
✅