Учебно-методические комплексы

Подробнее

решение систем линейных уравнений методами обратной матрицы, крамера и гаусса, вычисление пределов, исследование функций на непрерывность, нахождение производных, исследование функций и построение графиков, нахождение неопределенных и определенных интегралов, нахождение частных производных).
• у2 — решать вероятностные и статистические задачи (нахождение вероятности случайного события, составление закона распределения случайной величины, вычисление числовых характеристик случайных величин).
• у3 — умение применять правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, определения равенства комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.
✓ Знания:
• з1 — знание основных методов математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, элементарной теории вероятностей (формулы преобразования комплексных чисел, последовательность действий при решении систем линейных уравнений, классификация точек разрыва, правила дифференцирования и табличные интегралы, классическое определение вероятности).
• з2 — знание математических моделей простейших систем и процессов в естествознании и технике (геометрический и механический смысл производной, приложение определенного интеграла к вычислению площадей, объемов, пути).
3. Распределение оценивания по видам контроля
✓ Текущий контроль: расчетные задания, устные ответы (диктанты).
✓ Промежуточная аттестация (экзамен): расчетные задания и устные ответы.
4. Структура учебной дисциплины и типы контрольных заданий
Раздел 1: Системы линейных алгебраических уравнений
✓ Тема 1.1 "Матрицы и определители": расчетные задания на вычисление определителей 2-го и 3-го порядка, сложение, вычитание и умножение матриц, транспонирование, нахождение обратной матрицы.
✓ Тема 1.2 "Слау": решение систем линейных уравнений тремя методами (обратная матрица, формулы крамера, метод гаусса).
Раздел 2: Основы математического анализа
✓ Тема 2.1 "Дифференциальное исчисление": вычисление пределов функций, исследование функций на непрерывность, диктант по правилам дифференцирования и производным элементарных функций, нахождение производных сложных функций, производных высших порядков, уравнение касательной, механический смысл производной (скорость и ускорение), исследование функций и построение графиков.
✓ Тема 2.2 "Интегральное исчисление": диктант по табличным интегралам, нахождение неопределенных интегралов методами непосредственного интегрирования, подстановки и интегрирования по частям, вычисление определенных интегралов, приложения определенного интеграла (площади фигур, объемы тел вращения, путь точки).
Раздел 3: Основы теории комплексных чисел
✓ Тема 3.1 "Основные свойства комплексных чисел": действия над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление), нахождение действительных чисел a и b для выполнения равенства.
✓ Тема 3.2 "Некоторые приложения теории комплексных чисел": запись комплексных чисел в алгебраической и тригонометрической формах, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме, решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, извлечение корней из комплексных чисел.
Раздел 4: Элементы теории вероятностей
✓ Тема 4.1 "Вероятностные и статистические задачи": нахождение вероятности случайного события (классическое определение), составление закона распределения случайной величины, вычисление числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).
5. Типовые задания для текущего контроля
Расчетное задание "Матрицы и определители" (6 вариантов)
✓ Вычисление определителей 2-го порядка (в том числе с параметрами).
✓ Определение совместности систем линейных уравнений (по соотношению определителей).
✓ Нахождение главного и вспомогательных определителей систем уравнений.
✓ Вычисление определителей 3-го порядка.
✓ Сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число и умножение матриц, транспонирование, нахождение обратной матрицы.
Расчетное задание "Решение слау" (6 вариантов)
✓ Решение системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными тремя методами: метод обратной матрицы, формулы крамера, метод гаусса.
Расчетное задание "Пределы функций" (6 вариантов)
✓ Вычисление пределов функций в точке (устранение неопределенностей).
✓ Вычисление пределов с использованием первого замечательного предела.
✓ Вычисление пределов последовательностей при n → ∞.
Устный ответ "Непрерывность функции" (3 варианта)
✓ Исследование функции на непрерывность в точке.
✓ Классификация точек разрыва.
Диктант "Правила дифференцирования и производные"
✓ Запись производных основных элементарных функций (константа, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические).
✓ Формулировка правил дифференцирования (сумма, разность, произведение, частное, производная сложной функции).
Расчетное задание "Производные" (6 вариантов)
✓ Нахождение производной сложной функции.
✓ Нахождение производной третьего порядка.
✓ Написание уравнения касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой.
✓ Нахождение скорости и ускорения точки по заданному закону движения.
Расчетное задание "Исследование функций" (8 вариантов)
✓ Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости графика функции.
✓ Полное исследование функции и построение ее графика.
Диктант "Табличные интегралы"
✓ Запись основных табличных интегралов.
Расчетное задание "Неопределенные интегралы" (6 вариантов)
✓ Нахождение неопределенных интегралов методами непосредственного интегрирования, подстановки и интегрирования по частям.
Расчетное задание "Определенные интегралы" (2 варианта)
✓ Вычисление определенных интегралов по формуле ньютона-лейбница.
✓ Вычисление определенных интегралов методом подстановки.
✓ Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями.
✓ Вычисление объема тела вращения вокруг оси абсцисс.
✓ Вычисление пути, пройденного точкой с переменной скоростью.
Расчетное задание "Комплексные числа" (4 варианта)
✓ Нахождение суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел.
✓ Нахождение действительных чисел a и b для выполнения равенства.
✓ Запись комплексного числа в алгебраической форме.
✓ Представление комплексного числа в тригонометрической форме.
✓ Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
✓ Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
✓ Извлечение корней из комплексных чисел.
Расчетное задание "Теория вероятностей"
✓ Нахождение вероятности случайного события по классическому определению.
✓ Составление закона распределения случайной величины.
✓ Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
✓ Сравнение рассеяния случайных величин по дисперсии.
6. Экзаменационные материалы
Итоговая аттестация проводится в форме экзамена, включающего 20 заданий различных типов:
✓ Выбор ответа: производная от постоянной функции, первообразная, предел функции, неопределенный интеграл, утверждения о пределах.
✓ Числовой ответ: вычисление определителя, значение производной в точке, решение уравнения с комплексными числами.
✓ Вычисление и выбор ответа: среднее квадратическое отклонение, неопределенный интеграл.
✓ Задачи по вероятности: комбинаторика и классическое определение вероятности.
✓ Вычисление: решение системы линейных уравнений, определитель матрицы.
✓ Соответствие: формулы для приближенного вычисления определенных интегралов.
7. Шкала оценки образовательных достижений
✓ 90–100% правильных ответов — "5" (отлично)
✓ 80–89% — "4" (хорошо)
✓ 70–79% — "3" (удовлетворительно)
✓ менее 70% — "2" (неудовлетворительно)
8. Методика оценивания
Для каждого расчетного задания указано максимальное количество баллов (от 1 до 11). Критерии оценивания:
✓ За правильный ответ на вопрос или верное решение задачи выставляется положительная оценка — 1 балл.
✓ За неправильный ответ на вопрос или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка — 0 баллов.

Подробнее

✓ Занятие №1 "Операции над матрицами и определителями": Определение матрицы и ее видов. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение на число, умножение матриц, транспонирование). Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка (правило треугольников, разложение по строке или столбцу). Нахождение миноров и алгебраических дополнений. Обратная матрица: определение, свойства, алгоритм вычисления.
✓ Занятие №2–3 "Решение СЛАУ различными методами": Системы линейных алгебраических уравнений, их классификация (совместные, несовместные, определенные, неопределенные). Матричная форма записи СЛАУ. Три метода решения: метод Крамера (по формулам), метод Гаусса (последовательное исключение неизвестных), метод обратной матрицы. Составление СЛАУ для различных производственных задач.
Раздел 2: Математический анализ (занятия №4–9)
✓ Занятие №4 "Вычисление пределов функций": Понятие предела функции в точке и на бесконечности. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые. Правила раскрытия неопределенностей: 0/0 (разложение на множители, умножение на сопряженное выражение), ∞/∞ (деление на старшую степень), ∞−∞ (приведение к дробному виду), 0·∞.
✓ Занятие №5 "Исследование функции на непрерывность": Односторонние пределы (слева и справа). Условие непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва: устранимый разрыв, разрыв первого рода (скачок), разрыв второго рода (бесконечный разрыв). Алгоритм исследования функции на непрерывность. Построение графиков кусочно-заданных функций.
✓ Занятие №6 "Решение прикладных задач с помощью производной и дифференциала": Определение производной, физический и геометрический смысл производной. Таблица производных элементарных функций. Правила дифференцирования (сумма, разность, произведение, частное, сложная функция). Уравнение касательной к графику функции. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Механический смысл производной (скорость и ускорение). Задачи на оптимизацию (нахождение наибольшего и наименьшего значения).
✓ Занятие №7 "Решение прикладных задач с помощью интеграла": Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки (замена переменной), метод интегрирования по частям. Определенный интеграл: определение, свойства, формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, пути, пройденного точкой с переменной скоростью, работы переменной силы, силы давления жидкости.
✓ Занятие №8 "Интегрирование функций": Практические задачи на вычисление неопределенных и определенных интегралов с использованием всех изученных методов.
✓ Занятие №9 "Приближенное вычисление определенного интеграла": Методы численного интегрирования: формулы прямоугольников (по недостатку и по избытку), формула трапеций, формула Симпсона (парабол). Оценка абсолютной и относительной погрешности. Определение числа разбиений для достижения заданной точности.
Раздел 3: Теория комплексных чисел (занятия №10–11)
✓ Занятие №10 "Действия над комплексными числами в различных формах записи": Определение комплексного числа, алгебраическая форма записи (a + bi). Действия в алгебраической форме: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Геометрическая интерпретация комплексного числа (вектор на плоскости). Модуль и аргумент. Тригонометрическая форма записи: z = r(cos φ + i sin φ). Формула Муавра для возведения в степень и извлечения корня. Показательная форма записи: z = r·e^(iφ) (формула Эйлера).
✓ Занятие №11 "Применение комплексных чисел при решении задач в профессиональной деятельности": Применение комплексных чисел в электротехнике для расчета цепей переменного тока. Представление синусоидальных токов и напряжений в комплексной форме. Сложение токов с разными фазами с использованием комплексных чисел (векторные диаграммы). Расчет комплексного сопротивления двухполюсников.
Раздел 4: Теория вероятностей и математическая статистика (занятия №12–14)
✓ Занятие №12 "Решение простейших задач теории вероятностей": Основные понятия: случайное событие, вероятность, частота. Элементы комбинаторики: перестановки (P_n = n!), размещения (A_n^m = n!/(n−m)!), сочетания (C_n^m = n!/(m!(n−m)!)). Классическое определение вероятности (P = m/n). Правила сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Схема Бернулли: формула P_n(m) = C_n^m · p^m · q^(n−m).
✓ Занятие №13 "Решение производственных задач методами теории вероятностей": Случайные величины (дискретные и непрерывные). Закон распределения дискретной случайной величины (ряд распределения). Функция распределения F(x) = P(X < x). Числовые характеристики: математическое ожидание M(X) = Σ x_i·p_i, дисперсия D(X) = M(X−M(X))² = M(X²)−M²(X), среднее квадратическое отклонение σ(X) = √D(X). Решение задач на составление закона распределения и вычисление числовых характеристик.
✓ Занятие №14 "Решение простейших задач математической статистики": Основные понятия: генеральная и выборочная совокупность, объем выборки, варианта, частота, относительная частота. Вариационный ряд (дискретный и интервальный). Статистическое распределение. Графическое представление выборки: полигон частот, полигон относительных частот, гистограмма частот, гистограмма относительных частот. Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики выборки: выборочное среднее (x̄_в), выборочная дисперсия (D_в), выборочное среднее квадратическое отклонение (σ_в). Мода и медиана, размах выборки.
3. Требования к выполнению и оформлению практических занятий
✓ Все работы выполняются в тетради для практических занятий аккуратным и разборчивым почерком.
✓ Условия задач должны быть переписаны полностью.
✓ Решение сопровождается краткими пояснениями с указанием используемых формул.
✓ Геометрические построения выполняются карандашом с помощью чертежных инструментов.
✓ Задания к практическим работам имеют 10 вариантов; каждый студент выполняет свой вариант.
4. Технические особенности
✓ Матрицы: При умножении матриц число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй. Единичная матрица E. Обратная матрица A⁻¹ существует только для невырожденных матриц (det A ≠ 0).
✓ Определители: Для определителя 3-го порядка используется правило треугольников или разложение по строке/столбцу. Алгебраическое дополнение A_ij = (-1)^(i+j) · M_ij.
✓ Пределы: При раскрытии неопределенности 0/0 используется разложение на множители, умножение на сопряженное выражение, первый замечательный предел (sin x / x → 1). При ∞/∞ — деление на старшую степень.
✓ Производные: Производная сложной функции: (u(v(x)))' = u'(v) · v'(x). Таблица производных включает все основные элементарные функции.
✓ Интегралы: Метод подстановки: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(t) dt, где t = g(x). Интегрирование по частям: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Формула Ньютона-Лейбница: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
✓ Комплексные числа: Для деления комплексных чисел используется умножение на сопряженное число. Тригонометрическая форма: z = r(cos φ + i sin φ). Показательная форма: z = r·e^(iφ) (формула Эйлера e^(iφ) = cos φ + i sin φ).
✓ Вероятность: Классическое определение: P(A) = m/n (число благоприятных исходов к общему числу исходов). Формула Бернулли применяется для схемы повторных независимых испытаний.
5. Критерии оценивания
Для каждого практического занятия указана система оценивания (например, 16-14 баллов — "5", 13-10 баллов — "4", 10-8 баллов — "3", 8 баллов и менее — "2"). Каждый верно выполненный пример оценивается по 1 баллу.