Документ представляет собой комплект контрольно-оценочных материалов для входного, текущего, рубежного контроля и промежуточной аттестации по математике в учреждениях СПО. Разработан на основе требований ФГОС СОО с учетом профессиональной направленности специальности 15.02.04 «Специальные машины и устройства» (по тексту документа указаны также ПК для специальности 54.02.01 Дизайн, что, вероятно, является технической опечаткой, но в целом структура ФОС ориентирована на техническую специальность).
1. Результаты обучения, регламентированные ФГОС СОО с учетом ФГОС СПО
Документ устанавливает 14 предметных результатов на базовом уровне, которые проверяются в ходе контроля:
✓ ДРб 01: Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение формулировать определения, аксиомы и теоремы, применять их, проводить доказательные рассуждения.
✓ ДРб 02: Умение оперировать понятиями: степень числа, логарифм числа; выполнять вычисления и преобразования выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных выражений.
✓ ДРб 03: Умение оперировать понятиями: рациональные,
иррациональные, показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства, их системы.
✓ ДРб 04: Умение оперировать понятиями: функция, непрерывная функция, производная, первообразная, определенный интеграл; находить производные элементарных функций; исследовать функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную при решении задач на движение; решать практико-ориентированные задачи на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение пути, скорости и ускорения.
✓ ДРб 05: Умение оперировать понятиями: рациональная функция, показательная функция, степенная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции, обратные функции; строить графики изученных функций, использовать графики при изучении процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и из реальной жизни.
✓ ДРб 06: Умение решать текстовые задачи разных типов (на проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи.
✓ ДРб 07: Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное отклонение; извлекать, интерпретировать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках.
✓ ДРб 08: Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие, вероятность случайного события; вычислять вероятность с использованием графических методов; применять формулы сложения и умножения вероятностей, комбинаторные факты и формулы.
✓ ДРб 09: Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство, двугранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями; расстояние от точки до плоскости, между прямыми, между плоскостями; использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии.
✓ ДРб 10: Умение оперировать понятиями: многогранник, сечение многогранника, куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность вращения, цилиндр, конус, шар, сфера; площадь поверхности, объем; изображать многогранники и поверхности вращения, их сечения; распознавать симметрию в пространстве; распознавать правильные многогранники.
✓ ДРб 11: Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, подобные фигуры в пространстве; использовать отношение площадей поверхностей и объемов подобных фигур при решении задач.
✓ ДРб 12: Умение вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь, объем, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы.
✓ ДРб 13: Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, координаты точки, вектор, координаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами, сумма векторов, произведение вектора на число; находить координаты середины отрезка, расстояние между двумя точками.
✓ ДРб 14: Умение выбирать подходящий изученный метод для решения задачи, распознавать математические факты и математические модели в природных и общественных явлениях, в искусстве.
Формируемые общие компетенции: ОК 01, ОК 02, ОК 03, ОК 04, ОК 05, ОК 06, ОК 07. Профессиональные компетенции: ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 1.4 (по специальности 54.02.01 Дизайн, указанной в тексте документа).
2. Фонд оценочных средств для входного контроля
Входной контроль состоит из заданий из открытого банка ОГЭ и ВПР по математике. На выполнение дается 1 академический час (45 минут). Работа состоит из 2-х частей: обязательной и дополнительной.
Обязательная часть (8 заданий):
✓ Задания 1-4 с выбором ответа из четырех предложенных: раскрытие формулы сокращенного умножения (a²–b²), площадь треугольника, сравнение дробей с десятичными дробями, определение формулы функции по графику.
✓ Задания 5-8 с записью хода решения: вычисление выражения, решение квадратного уравнения, практическая задача на количество пачек клея, геометрическая задача на площадь параллелограмма.
Дополнительная часть (1 задание):
✓ Текстовая задача на движение по реке (рыболов, скорость течения 2 км/ч, собственная скорость 6 км/ч, время путешествия 5 часов, из них 2 часа — рыбалка). Требуется найти расстояние от пристани.
Шкала перевода баллов: «3» — 7-9 баллов, «4» — 10-12 баллов, «5» — 13-15 баллов.
3. Фонд оценочных средств для текущего контроля
Текущий контроль проводится во время аудиторных занятий по всем разделам программы и состоит из двух частей: теоретической (устные ответы) и практической (контрольные работы). Обучающиеся получают две отметки.
Теоретическая часть проходит в форме устных ответов: обучающиеся вытягивают пять карточек с вопросами. Шкала: «3» — 3 верных ответа, «4» — 4, «5» — 5.
Практическая часть (контрольные работы) — 45 минут, задания из открытого банка ЕГЭ и ВПР. Работа состоит из 2-х частей: 4 задания с выбором ответа (по 1 баллу) и 6 заданий с записью решения (по 2 балла). Шкала: «3» — 8-10 баллов, «4» — 11-13, «5» — 14-16.
3.1. Прямые и плоскости, координаты и векторы в пространстве
Теоретические вопросы (32 вопроса):
✓ Теорема Пифагора. Основные фигуры в пространстве. Способы задания плоскости.
✓ Теоремы о параллельных прямых и плоскостях, перпендикулярности.
✓ Определения: двугранный угол, угол между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.
✓ Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве.
✓ Расстояние от точки до прямой, между прямыми, между плоскостями.
✓ Перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной. Свойства параллельного проектирования.
✓ Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы. Коллинеарные и перпендикулярные векторы.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: расшифровка записи a∈β, взаимное расположение скрещивающихся прямых, коллинеарные векторы, координаты середины отрезка.
✓ Задания 5-10 с решением: нахождение длины отрезка через параллельные прямые в пространстве, нахождение отрезка в системе взаимно перпендикулярных прямых (теорема Пифагора), скалярное произведение векторов, построение точек и отрезка на кубе, нахождение значения параметра для перпендикулярности векторов, оформление листа А4 линиями с использованием цветовых оттенков (творческое задание).
3.2. Основы тригонометрии. Тригонометрические функции
Теоретические вопросы (17 вопросов):
✓ Угол в один радиан. Знаки тригонометрических функций по четвертям.
✓ Определения синуса, косинуса, тангенса острого угла. Основное тригонометрическое тождество.
✓ Формулы двойного угла (sin 2x, cos 2x).
✓ Тригонометрические функции и их периоды. Область значений.
✓ Способы решения тригонометрических уравнений. Алгоритмы решения однородных уравнений первого и второго порядка.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: определение гипотенузы по формуле cos C = AB/AC, четверть угла 410°, четность функций, период y = sin x.
✓ Задания 5-10 с решением: вычисление sin π/2 + cos π/2, вычисление арккосинуса и арксинуса, произведение тангенсов 13° и 77° (использование формулы tg α · tg (90°–α) = 1), решение cos x = 1/2 (наименьший положительный корень), решение sin²x – 4 sin x + 3 = 0, построение графика y = 2 sin x.
3.3. Производная и первообразная функции
Теоретические вопросы (20 вопросов):
✓ Определение производной. Геометрический и физический смысл производной.
✓ Правила вычисления производных. Производная степенной функции, произведения, частного, сложной функции.
✓ Признаки возрастания и убывания функции. Точки максимума и минимума.
✓ Алгоритм нахождения наибольшего/наименьшего значения функции на отрезке.
✓ Алгоритм исследования и построения графика функции с помощью производной.
✓ Определение первообразной и ее общий вид. Правила вычисления интегралов.
✓ Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: производная y = 2x³, формула производной частного, решение f´(x)=0, общий вид первообразных для f(x)=sin x.
✓ Задания 5-10 с решением: нахождение момента времени по закону движения (скорость равна 5 м/с), значение производной по графику касательной, решение неравенства x²–16<0, нахождение наименьшего значения функции по графику, вычисление F(8)–F(6) по графику первообразной, практическая задача на выбор участка с наименьшим периметром (100 м² — выбор 10х10).
3.4. Многогранники и тела вращения
Теоретические вопросы (26 вопросов):
✓ Определения: многогранник, призма, прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида.
✓ Свойства противолежащих граней и диагоналей параллелепипеда. Диагональ и линейные размеры.
✓ Прямая и правильная призма. Правильная пирамида. Апофема.
✓ Боковая и полная поверхности призмы и пирамиды. Теоремы о вычислении боковых поверхностей.
✓ Предметы профессиональной деятельности, имеющие формы многогранников.
✓ Определения: цилиндр, конус, усеченный конус, шар. Высота усеченного конуса. Осевые сечения.
✓ Единицы измерения площади и объема. Отношение площадей и объемов подобных фигур.
✓ Предметы профессиональной деятельности, имеющие формы тел вращения.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: единицы измерения объема, площадь полной поверхности призмы, осевое сечение конуса, фигура при вращении прямоугольного треугольника.
✓ Задания 5-10 с решением: площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды (ребро 3 м, апофема 6 м), нахождение стороны параллелограмма по отношению сторон и периметру, объем и площади поверхности цилиндра при вращении прямоугольника (8×3 см), объем многогранника на рисунке, построение модели цилиндра с соотношением R:H=1:2, практическая задача на расчет количества краски для окрашивания цилиндрического свода (расход 100 г/м², π=3).
3.5. Степенная, показательная и логарифмическая функции
Теоретические вопросы (15 вопросов):
✓ Определения и свойства степенной, показательной, логарифмической функций.
✓ Логарифм. Логарифм произведения и частного.
✓ Примеры логарифмической спирали в природе и окружающем мире.
✓ Особенности решения иррациональных уравнений четной степени.
✓ Корень четной и нечетной степени из отрицательного числа.
✓ Особенности решения логарифмических, иррациональных, дробно-рациональных уравнений и неравенств.
✓ Графический способ решения уравнений.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: между какими числами находится ∛19, значение показательной функции по графику, возрастающая функция на всей области определения, область определения логарифмической функции.
✓ Задания 5-10 с решением: вычисление 4⁸·11¹⁰:44⁸, число целых решений неравенства 1<7ˣ⁻¹≤49, корень уравнения log₅(4+x)=2, нахождение высоты по формуле l=√(2Rh) (R=6400 км, l=48 км), задача на радиоактивный распад по формуле m(t)=m₀·2^(–t/T) (T=7 мин, найти t при m=23 мг, m₀=184 мг), вычисление log₆108 + log₆2.
3.6. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Теоретические вопросы (16 вопросов):
✓ Определения: случайное событие, достоверное событие, невозможное событие.
✓ Вероятность случайного события. Правила сложения и умножения вероятностей.
✓ Среднее арифметическое, медиана, размах числового ряда.
✓ Назначение диаграмм и графиков. Виды диаграмм.
✓ Примеры проявления закона больших чисел в природных и общественных явлениях.
✓ Что изучает статистика. Определения сочетания, размещения, перестановок.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: виды событий в теории вероятностей, определение достоверного события, интервал значений вероятности, определение группировки.
✓ Задания 5-10 с решением: вероятность обращения мужчины первым (8 женщин, 2 мужчин), вероятность доклада ученого из Сербии (2 из Германии, 3 из Сербии, 7 из Швейцарии), вероятность того, что проект не достанется Антону (5 человек), вероятность появления синего фломастера третьим по счету (3 красных, 3 синих), нахождение моды и среднего арифметического ряда чисел, нахождение моды случайной величины (цены услуг).
4. Фонд оценочных средств для рубежного контроля (по итогам разделов 3.1–3.3)
Рубежный контроль проводится по итогам разделов «Прямые и плоскости, координаты и векторы в пространстве», «Основы тригонометрии. Тригонометрические функции», «Производная и первообразная функции». Работа состоит из 2-х частей.
Первая часть (задания 1-4 с выбором ответа):
✓ Координаты середины отрезка.
✓ Взаимное расположение прямых при параллельных АВ и СД.
✓ Четность функций sin x, cos x, tg x, ctg x.
✓ Нахождение наибольшего значения функции по графику производной на отрезке.
Вторая часть (задания 5-10 с решением):
✓ Нахождение длины отрезка через параллельные прямые в пространстве.
✓ Длина вектора по координатам точек.
✓ Вычисление tg(α+π/2) при tg α=0,5.
✓ Нахождение момента времени по закону движения (скорость равна 3 м/с).
✓ Вычисление F(1) для функции f(x)=3x²+1.
✓ Решение cos x = 1 (наименьший неотрицательный корень).
5. Фонд оценочных средств для промежуточной аттестации (экзамен)
Промежуточная аттестация проводится в форме письменного экзамена. На выполнение дается 4 астрономических часа (240 минут). Экзаменационная работа состоит из 2-х частей: обязательной и дополнительной.
Обязательная часть (задания 1-12, по 1 баллу, с записью решения):
✓ Задание 1: вычисление 2sin(π/6)+2cos(π/3).
✓ Задание 2: определение по графику количества дней с осадками более 2 мм.
✓ Задание 3: нахождение первоначальной стоимости услуг частного дизайнера при подорожании на 10% (после — 55000 руб).
✓ Задание 4: вероятность выбора пирожка с вишней (16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем, 4 с вишней).
✓ Задание 5: log₂2 + log₂32.
✓ Задание 6: корень уравнения с корнем.
✓ Задание 7: решение неравенства 2ˣ⁺⁵ > 64, запись наименьшего положительного числа.
✓ Задание 8: корень логарифмического уравнения.
✓ Задание 9: производная функции в точке х=0.
✓ Задание 10: вместимость кастрюли формы цилиндра (высота 35 см, диаметр 20 см), результат делить на π.
✓ Задание 11: площадь фигуры по рисунку.
✓ Задание 12: нахождение скорости тела через 1 с по закону S(t)=3t²+5t.
Дополнительная часть (задания 13-16, по 3 балла, с полным решением):
✓ Задание 13: вычисление площади участка стола, ограниченного линиями y=x²–2x–2 и y=–x²+2 (интеграл), выполнение чертежа.
✓ Задание 14: решение уравнения sin²x – 2sinx=0, запись количества решений на промежутке [0; 4π].
✓ Задание 15: объем многогранника по рисунку (все двугранные углы прямые).
✓ Задание 16: текстовая задача на работу: заказ на 126 открыток, первый дизайнер выполняет на 5 часов быстрее второго, за час делает на 5 открыток больше. Найти количество открыток за час первого дизайнера.
Шкала перевода баллов в отметки:
✓ «3» (удовлетворительно) — 6-9 баллов.
✓ «4» (хорошо) — 10-14 баллов (не менее одного задания из дополнительной части).
✓ «5» (отлично) — более 14 баллов (не менее двух заданий из дополнительной части).
6. Общая характеристика системы оценивания
В документе используется единый подход к оцениванию всех видов контроля:
✓ Задания с выбором ответа — 1 балл.
✓ Задания с кратким ответом и записью решения — 2 балла (1 балл за частичное решение).
✓ Задания дополнительной части — 3 балла (1-2 балла за частичное решение).
✓ Устные теоретические ответы — по количеству верных ответов.
Все контрольные работы составлены на основе материалов открытого банка ЕГЭ, ОГЭ и ВПР, что обеспечивает преемственность с государственной итоговой аттестацией. Практико-ориентированные задания связывают математический аппарат с профессиональной деятельностью (расчет стоимости услуг, площади и объема, расхода материалов, анализ ценовых предпочтений клиентов, экономические расчеты).
✓ ДРб 04: Умение оперировать понятиями: функция, непрерывная функция, производная, первообразная, определенный интеграл; находить производные элементарных функций; исследовать функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную при решении задач на движение; решать практико-ориентированные задачи на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение пути, скорости и ускорения.
✓ ДРб 05: Умение оперировать понятиями: рациональная функция, показательная функция, степенная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции, обратные функции; строить графики изученных функций, использовать графики при изучении процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и из реальной жизни.
✓ ДРб 06: Умение решать текстовые задачи разных типов (на проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи.
✓ ДРб 07: Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное отклонение; извлекать, интерпретировать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках.
✓ ДРб 08: Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие, вероятность случайного события; вычислять вероятность с использованием графических методов; применять формулы сложения и умножения вероятностей, комбинаторные факты и формулы.
✓ ДРб 09: Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство, двугранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями; расстояние от точки до плоскости, между прямыми, между плоскостями; использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии.
✓ ДРб 10: Умение оперировать понятиями: многогранник, сечение многогранника, куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность вращения, цилиндр, конус, шар, сфера; площадь поверхности, объем; изображать многогранники и поверхности вращения, их сечения; распознавать симметрию в пространстве; распознавать правильные многогранники.
✓ ДРб 11: Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, подобные фигуры в пространстве; использовать отношение площадей поверхностей и объемов подобных фигур при решении задач.
✓ ДРб 12: Умение вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь, объем, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы.
✓ ДРб 13: Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, координаты точки, вектор, координаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами, сумма векторов, произведение вектора на число; находить координаты середины отрезка, расстояние между двумя точками.
✓ ДРб 14: Умение выбирать подходящий изученный метод для решения задачи, распознавать математические факты и математические модели в природных и общественных явлениях, в искусстве.
Формируемые общие компетенции: ОК 01, ОК 02, ОК 03, ОК 04, ОК 05, ОК 06, ОК 07. Профессиональные компетенции: ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 1.4 (по специальности 54.02.01 Дизайн, указанной в тексте документа).
2. Фонд оценочных средств для входного контроля
Входной контроль состоит из заданий из открытого банка ОГЭ и ВПР по математике. На выполнение дается 1 академический час (45 минут). Работа состоит из 2-х частей: обязательной и дополнительной.
Обязательная часть (8 заданий):
✓ Задания 1-4 с выбором ответа из четырех предложенных: раскрытие формулы сокращенного умножения (a²–b²), площадь треугольника, сравнение дробей с десятичными дробями, определение формулы функции по графику.
✓ Задания 5-8 с записью хода решения: вычисление выражения, решение квадратного уравнения, практическая задача на количество пачек клея, геометрическая задача на площадь параллелограмма.
Дополнительная часть (1 задание):
✓ Текстовая задача на движение по реке (рыболов, скорость течения 2 км/ч, собственная скорость 6 км/ч, время путешествия 5 часов, из них 2 часа — рыбалка). Требуется найти расстояние от пристани.
Шкала перевода баллов: «3» — 7-9 баллов, «4» — 10-12 баллов, «5» — 13-15 баллов.
3. Фонд оценочных средств для текущего контроля
Текущий контроль проводится во время аудиторных занятий по всем разделам программы и состоит из двух частей: теоретической (устные ответы) и практической (контрольные работы). Обучающиеся получают две отметки.
Теоретическая часть проходит в форме устных ответов: обучающиеся вытягивают пять карточек с вопросами. Шкала: «3» — 3 верных ответа, «4» — 4, «5» — 5.
Практическая часть (контрольные работы) — 45 минут, задания из открытого банка ЕГЭ и ВПР. Работа состоит из 2-х частей: 4 задания с выбором ответа (по 1 баллу) и 6 заданий с записью решения (по 2 балла). Шкала: «3» — 8-10 баллов, «4» — 11-13, «5» — 14-16.
3.1. Прямые и плоскости, координаты и векторы в пространстве
Теоретические вопросы (32 вопроса):
✓ Теорема Пифагора. Основные фигуры в пространстве. Способы задания плоскости.
✓ Теоремы о параллельных прямых и плоскостях, перпендикулярности.
✓ Определения: двугранный угол, угол между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.
✓ Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве.
✓ Расстояние от точки до прямой, между прямыми, между плоскостями.
✓ Перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной. Свойства параллельного проектирования.
✓ Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы. Коллинеарные и перпендикулярные векторы.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: расшифровка записи a∈β, взаимное расположение скрещивающихся прямых, коллинеарные векторы, координаты середины отрезка.
✓ Задания 5-10 с решением: нахождение длины отрезка через параллельные прямые в пространстве, нахождение отрезка в системе взаимно перпендикулярных прямых (теорема Пифагора), скалярное произведение векторов, построение точек и отрезка на кубе, нахождение значения параметра для перпендикулярности векторов, оформление листа А4 линиями с использованием цветовых оттенков (творческое задание).
3.2. Основы тригонометрии. Тригонометрические функции
Теоретические вопросы (17 вопросов):
✓ Угол в один радиан. Знаки тригонометрических функций по четвертям.
✓ Определения синуса, косинуса, тангенса острого угла. Основное тригонометрическое тождество.
✓ Формулы двойного угла (sin 2x, cos 2x).
✓ Тригонометрические функции и их периоды. Область значений.
✓ Способы решения тригонометрических уравнений. Алгоритмы решения однородных уравнений первого и второго порядка.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: определение гипотенузы по формуле cos C = AB/AC, четверть угла 410°, четность функций, период y = sin x.
✓ Задания 5-10 с решением: вычисление sin π/2 + cos π/2, вычисление арккосинуса и арксинуса, произведение тангенсов 13° и 77° (использование формулы tg α · tg (90°–α) = 1), решение cos x = 1/2 (наименьший положительный корень), решение sin²x – 4 sin x + 3 = 0, построение графика y = 2 sin x.
3.3. Производная и первообразная функции
Теоретические вопросы (20 вопросов):
✓ Определение производной. Геометрический и физический смысл производной.
✓ Правила вычисления производных. Производная степенной функции, произведения, частного, сложной функции.
✓ Признаки возрастания и убывания функции. Точки максимума и минимума.
✓ Алгоритм нахождения наибольшего/наименьшего значения функции на отрезке.
✓ Алгоритм исследования и построения графика функции с помощью производной.
✓ Определение первообразной и ее общий вид. Правила вычисления интегралов.
✓ Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: производная y = 2x³, формула производной частного, решение f´(x)=0, общий вид первообразных для f(x)=sin x.
✓ Задания 5-10 с решением: нахождение момента времени по закону движения (скорость равна 5 м/с), значение производной по графику касательной, решение неравенства x²–16<0, нахождение наименьшего значения функции по графику, вычисление F(8)–F(6) по графику первообразной, практическая задача на выбор участка с наименьшим периметром (100 м² — выбор 10х10).
3.4. Многогранники и тела вращения
Теоретические вопросы (26 вопросов):
✓ Определения: многогранник, призма, прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида.
✓ Свойства противолежащих граней и диагоналей параллелепипеда. Диагональ и линейные размеры.
✓ Прямая и правильная призма. Правильная пирамида. Апофема.
✓ Боковая и полная поверхности призмы и пирамиды. Теоремы о вычислении боковых поверхностей.
✓ Предметы профессиональной деятельности, имеющие формы многогранников.
✓ Определения: цилиндр, конус, усеченный конус, шар. Высота усеченного конуса. Осевые сечения.
✓ Единицы измерения площади и объема. Отношение площадей и объемов подобных фигур.
✓ Предметы профессиональной деятельности, имеющие формы тел вращения.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: единицы измерения объема, площадь полной поверхности призмы, осевое сечение конуса, фигура при вращении прямоугольного треугольника.
✓ Задания 5-10 с решением: площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды (ребро 3 м, апофема 6 м), нахождение стороны параллелограмма по отношению сторон и периметру, объем и площади поверхности цилиндра при вращении прямоугольника (8×3 см), объем многогранника на рисунке, построение модели цилиндра с соотношением R:H=1:2, практическая задача на расчет количества краски для окрашивания цилиндрического свода (расход 100 г/м², π=3).
3.5. Степенная, показательная и логарифмическая функции
Теоретические вопросы (15 вопросов):
✓ Определения и свойства степенной, показательной, логарифмической функций.
✓ Логарифм. Логарифм произведения и частного.
✓ Примеры логарифмической спирали в природе и окружающем мире.
✓ Особенности решения иррациональных уравнений четной степени.
✓ Корень четной и нечетной степени из отрицательного числа.
✓ Особенности решения логарифмических, иррациональных, дробно-рациональных уравнений и неравенств.
✓ Графический способ решения уравнений.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: между какими числами находится ∛19, значение показательной функции по графику, возрастающая функция на всей области определения, область определения логарифмической функции.
✓ Задания 5-10 с решением: вычисление 4⁸·11¹⁰:44⁸, число целых решений неравенства 1<7ˣ⁻¹≤49, корень уравнения log₅(4+x)=2, нахождение высоты по формуле l=√(2Rh) (R=6400 км, l=48 км), задача на радиоактивный распад по формуле m(t)=m₀·2^(–t/T) (T=7 мин, найти t при m=23 мг, m₀=184 мг), вычисление log₆108 + log₆2.
3.6. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Теоретические вопросы (16 вопросов):
✓ Определения: случайное событие, достоверное событие, невозможное событие.
✓ Вероятность случайного события. Правила сложения и умножения вероятностей.
✓ Среднее арифметическое, медиана, размах числового ряда.
✓ Назначение диаграмм и графиков. Виды диаграмм.
✓ Примеры проявления закона больших чисел в природных и общественных явлениях.
✓ Что изучает статистика. Определения сочетания, размещения, перестановок.
Контрольная работа:
✓ Задания 1-4 с выбором ответа: виды событий в теории вероятностей, определение достоверного события, интервал значений вероятности, определение группировки.
✓ Задания 5-10 с решением: вероятность обращения мужчины первым (8 женщин, 2 мужчин), вероятность доклада ученого из Сербии (2 из Германии, 3 из Сербии, 7 из Швейцарии), вероятность того, что проект не достанется Антону (5 человек), вероятность появления синего фломастера третьим по счету (3 красных, 3 синих), нахождение моды и среднего арифметического ряда чисел, нахождение моды случайной величины (цены услуг).
4. Фонд оценочных средств для рубежного контроля (по итогам разделов 3.1–3.3)
Рубежный контроль проводится по итогам разделов «Прямые и плоскости, координаты и векторы в пространстве», «Основы тригонометрии. Тригонометрические функции», «Производная и первообразная функции». Работа состоит из 2-х частей.
Первая часть (задания 1-4 с выбором ответа):
✓ Координаты середины отрезка.
✓ Взаимное расположение прямых при параллельных АВ и СД.
✓ Четность функций sin x, cos x, tg x, ctg x.
✓ Нахождение наибольшего значения функции по графику производной на отрезке.
Вторая часть (задания 5-10 с решением):
✓ Нахождение длины отрезка через параллельные прямые в пространстве.
✓ Длина вектора по координатам точек.
✓ Вычисление tg(α+π/2) при tg α=0,5.
✓ Нахождение момента времени по закону движения (скорость равна 3 м/с).
✓ Вычисление F(1) для функции f(x)=3x²+1.
✓ Решение cos x = 1 (наименьший неотрицательный корень).
5. Фонд оценочных средств для промежуточной аттестации (экзамен)
Промежуточная аттестация проводится в форме письменного экзамена. На выполнение дается 4 астрономических часа (240 минут). Экзаменационная работа состоит из 2-х частей: обязательной и дополнительной.
Обязательная часть (задания 1-12, по 1 баллу, с записью решения):
✓ Задание 1: вычисление 2sin(π/6)+2cos(π/3).
✓ Задание 2: определение по графику количества дней с осадками более 2 мм.
✓ Задание 3: нахождение первоначальной стоимости услуг частного дизайнера при подорожании на 10% (после — 55000 руб).
✓ Задание 4: вероятность выбора пирожка с вишней (16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем, 4 с вишней).
✓ Задание 5: log₂2 + log₂32.
✓ Задание 6: корень уравнения с корнем.
✓ Задание 7: решение неравенства 2ˣ⁺⁵ > 64, запись наименьшего положительного числа.
✓ Задание 8: корень логарифмического уравнения.
✓ Задание 9: производная функции в точке х=0.
✓ Задание 10: вместимость кастрюли формы цилиндра (высота 35 см, диаметр 20 см), результат делить на π.
✓ Задание 11: площадь фигуры по рисунку.
✓ Задание 12: нахождение скорости тела через 1 с по закону S(t)=3t²+5t.
Дополнительная часть (задания 13-16, по 3 балла, с полным решением):
✓ Задание 13: вычисление площади участка стола, ограниченного линиями y=x²–2x–2 и y=–x²+2 (интеграл), выполнение чертежа.
✓ Задание 14: решение уравнения sin²x – 2sinx=0, запись количества решений на промежутке [0; 4π].
✓ Задание 15: объем многогранника по рисунку (все двугранные углы прямые).
✓ Задание 16: текстовая задача на работу: заказ на 126 открыток, первый дизайнер выполняет на 5 часов быстрее второго, за час делает на 5 открыток больше. Найти количество открыток за час первого дизайнера.
Шкала перевода баллов в отметки:
✓ «3» (удовлетворительно) — 6-9 баллов.
✓ «4» (хорошо) — 10-14 баллов (не менее одного задания из дополнительной части).
✓ «5» (отлично) — более 14 баллов (не менее двух заданий из дополнительной части).
6. Общая характеристика системы оценивания
В документе используется единый подход к оцениванию всех видов контроля:
✓ Задания с выбором ответа — 1 балл.
✓ Задания с кратким ответом и записью решения — 2 балла (1 балл за частичное решение).
✓ Задания дополнительной части — 3 балла (1-2 балла за частичное решение).
✓ Устные теоретические ответы — по количеству верных ответов.
Все контрольные работы составлены на основе материалов открытого банка ЕГЭ, ОГЭ и ВПР, что обеспечивает преемственность с государственной итоговой аттестацией. Практико-ориентированные задания связывают математический аппарат с профессиональной деятельностью (расчет стоимости услуг, площади и объема, расхода материалов, анализ ценовых предпочтений клиентов, экономические расчеты).
✅